Makalah Bruce Reznic'k

SEBUAH  DISKUSI  TENTANG  MAKALAH   BRUCE  REZNICK’S

      Makalah ini merupakan hasil diskusi tentang  Bruce Reznick’s masih dalam rangka reformasi matematika. Mengambil trik penipuan dalam berdagang, orang mengembangkannya ketika harus membuat makalah/paper sewaktu tidak mempunyai ide. Ingram Olkin mencoba mengatasi hal ini dengan memberi kuliah ilmiah, lalu diskusi. Diskusi pertama tentang “penekanan ucapan terimakasih”, diskusi kedua menekankan “pilihan yang mendukung pembahasan pertama”. Awal diskusi biasanya berupa “saya senang menawarkan penekanan ucapan terima kasih”.  

       Motivasi awalnya adalah tiga hal pokok tentang matematika, yaitu: penelitian matematika, pendidik matematika, dan psikologi pendidikan matematika. Biasanya hal ini diabaikan, sangat jarang psikologi pendidikan mengundang peneliti matematika untuk menyatakan pendapatnya. Jadi tujuan diskusi ini untuk memberi kesempatan. Tema lain yang sering terdengar adalah penekanan pada studi kasus. Kurikulum khusus contohnya akan diberikan di kelas, diobservasi, dan disimpulkan.

       Kembali ke Putnam, Olkin sangat tertarik pada obrolan dan lawakan yang ada. Seorang anggota klub matematika  Richard Feynman dalam bukunya “ Surely You’re Jocking” memberi komentar bahwa untuk masalah yang butuh waktu 50 detik untuk pemecahannya, tapi mereka hanya diberi waktu 40 detik. Jadi pertanyaannya bagaimana bisa menjawab dengan waktu yang lebih sedikit? Berarti ada satu hal yang tidak dapat dijelaskan tapi merupakan pemecahan masalah. Dibukunya Feynman melakukan test pada semut yang berbaris mengikuti garis gula, kita harus memahami mekanismenya.

        Dalam matematika kita menggunakan kata "indah" untuk merujuk kepada masalah, teori atau solusi dan istilah yang umumnya dimengerti.Tetapi individu yang belum berpengalaman tidak tahu apa arti istilah indah.

        Sebuah survei 1983 misalnya (Schoenfeld, 1983) menunjukkan bahwa lima set agak berbeda dari program pemecahan masalah banner:
1.  Seminar untuk mempersiapkan siswa mengikuti kompetisi seperti Putnam tersebut.

2.  Program yang dirancang untuk mempersiapkan siswa berpikir kritis.

3. Kursus bagi guru matematika yang ditekankan pada cara pemecahan masalah,  sehingga mereka bisa mengajarkan pada murid-muridnya.

4.  Program dalam pemodelan matematika.

5.  Program remedial untuk membantu siswa mengembangkan  dasar berpikir.

        Tiga pertanyaan awal yang paling penting dalam pemecahan masalah yang harus dihadapi adalah: (a) Apakah ada solusi? (b) Apa yang perlu saya ketahui untuk mencari solusi? (c) Seperti apa solusi nya? Semua pertanyaan ini dijawab oleh Putnam yang tahu bahwa ada solusi yang mungkin pendek dan cerdas serta tidak membutuhkan banyak pengetahuan.

Peserta dari diskusi ini adalah:

1. Ingram Olkin, Stanford University
2. Bruce Reznick, University of Illinois
3. Alan H. Schoenfeld, University of California, Berkeley
4. Ed Dubinsky, Purdue University
5. Lester Senechal, Mount Holyoak College
6. Gaea Leinhardt, University of Pittsburgh
7. John Addison, University of California, Berkeley
8. Robert Davis, Rutgers University

Berikut ini adalah dialog pada diskusi tersebut:

Bruce Reznick,  Disini saya ingin mengangkat satu masalah penelitian matematika . Pertanyaan dari masalah yang mengarah ke masalah lain menyebabkan beberapa pertanyaan yang tidak menyenangkan. Apakah ada orang yang memecahkan masalah yang peduli tentang penyelesaian mereka? Ada banyak orang yang menganggap masalah tidak lagi menarik setelah dipecahkan. Sikap tertentu ditemukan lebih dari sekedar  pemecahan masalah. Saya berada di pertemuan AMS Toronto sekitar tujuh tahun yang lalu, di mana Dieudonné itu-berbicara tentang Bourbaki Dia ditanya mengapa tidak ada teori Galois di Bourbaki, dan dia berkata, "Karena tidak menimbulkan pertanyaan yang menarik." Ini tampaknya untuk saya menjadi suatu ide yang steril dari apa keindahan matematika adalah bahwa, meskipun saya tidak suka Bourbaki sebelumnya, saya memutuskan pada titik bahwa aku pernah membeli buku.

Ed Dubinsky,  Menurut saya, mengikuti konferensi matematika dan berbicara tentang Putnam akan meningkatkan pertanyaan penting. Saya pikir hal ini sangat penting dan butuh penelitian. Pertanyaannya adalah satu jenis ilmu matematika atau ada dua?

      Kepedulian ahli matematika adalah kelanjutan spesies, pendidikan, dan jumlah rata-rata peneliti matematika, orang yang dari awal berbakat. Isu kedua mungkin isu fundamental tentang pendidik matematika: peningkatan jumlah orang-orang yang memahami matematika yang berguna dimasa datang.  

        Saya pikir  yang perlu dipertanyakan dalam konteks ini adalah:  Apa hubungan antara keduanya? Dalam hal apa pertanyan itu sama? Dimana perbedaannya?  Walaupun saya memiliki pengalaman di kedua wilayah ini, saya menemukan diri saya benar-benar bingung. Saya perlu tahu lebih banyak tentang apa pengetahuan matematika, dan saya pikir masalah yang harus menjadi bagian dari agenda jangka panjang kami.

Lester Senechal,  Saya ingin memberi komentar tentang indikator. Menurut saya Putnam memiliki lebih banyak indikator tetapi lebih banyak untuk laki-laki. Saya pikir Putnam adalah aktivitas laki-laki dan tidak bagus buat wanita. Saya sendiri selama mengikuti pendidikan di sini sangat menikmati latihan dan saya pikir baik untuk semua orang. Saya menemukan wanita tidak suka latihan. Saya pikir ada yang mengancam Putnam bagi wanita dan saya takut ini hanya untuk murid-murid minoritas. Putnam memang hebat tetapi juga harus menyadari sisi lain dari ini.

Gaea Leinhardt. Saya  ingin kembali ke tema yang diangkat oleh Ed Dubinsky, yang   berhubungan dengan tujuan literasi dalam instruksi matematika.. Satu hal yang saya pikir adalah tentang "masalah kelompok," dan itu berhubungan langsung dengan konferensi ini. Yang saya maksud dengan masalah kelompok, Anda perlu untuk memperluas kelompok warga matematis  yang kompeten.

        Amerika Serikat perlu mendapatkan level dasar matematika tingkat 4, pada saat itu guru SD mempunyai kompetensi tingkat 4. Jadi sangat diperlukan pendalaman materi untuk meningkatkan level mereka. Saya pikir aktivitas pendalaman materi ini akan mempengaruhi grup secara selektif walaupun tidak dapat meningkatkan jumlah orang yang lebih baik. Kita harus peduli dengan cara yang sama ketika guru berpikir. Kita perlu mengekspose mode agar guru merasa nyaman dan aman dalam mempelajari sesuatu, mengeksplorasi penyelidikan,  memungkinkan siswa mereka diberi kebebasan untuk terlibat dalam penyelidikan matematika.

Alan Schoenfeld. Masalah kelompok matematika cukup serius, dua penelitian terakhir yang dipublikasikan NRC (National Research Council) , A Challenge of Number (1990) dan  Renewing  US Mathematics (1990), menunjukkan betapa buruknya hasil 20 tahun yang lalu, ketika penerimaan mahasiswa baru  ada  4,6% dari populasi menyatakan diri sebagai mahasiswa jurusan mtematika. Kemudian yang terhambat  ada 2%. Sekarang yang ingin masuk ke jurusan matematika  hanya 0,8% saja.

John Addison. Saya pikir  ada pertukaran populasi antara yang mengambil jurusan matematika dan yang keluar. Sejumlah besar yang masuk berdasarkan nilai matematika mereka di SMA dan ternyata menemukan kenyataan bahwa matematika tidak seperti yang mereka pelajari di SMA., walaupun ada yang meneruskan.

       Pertanyaan yang  ingin saya munculkan adalah bagaimana Bruce atau seseorang menemukan bahwa “ Putnam Exam “  adalah untuk matematika. Apa konsekwensi dari fakta luhur kita punya “Putnam Exam “ ? Apakah konsekwensinya untuk matematika?

Bruce Reznick.  Saya pikir tidak ada konsekwensi utama. Justru ada peningkatan tertentu pada masalah kelompok. Ada beberapa departemen yang menghabiskan waktu dalam pemecahan masalah. Ada siswa yang  butuh energi banyak untuk memecahkan masalah, ada perbedaan pada laki-laki dan wanita, yang lebih banyak serius dalah wanita. Jadi saya pikir, isi dari suatu ujian berhubungan dengan gender.

Gaea Leinhardt. Saya tidak berpikir itu gender terkait dalam cara yang  anda sarankan. Saya melihat dan mengamati anak wanita umur 11-12 tahun menghabiskan hampir seluruh waktu musim panasnya untuk menulis 200-300 halaman sebuah novel. Ini adalah aktivitas yang solid. Saya pikir anda akan menemukan sekumpulan wanita remaja yang solid. Jadi saya pikir itu adalah faktor diskriminatif.

John Addison. Anda bisa lihat bahwa Putnam adalah setengah isi atau setengah kosong.

Saya pernah menemukan pemenang Putnam adalah siswa lulusan kursus, yang lebih mengesankan lagi adalah jumlah ahli matematika terkenal yang ada dalam daftar pemenang Putnam.Saya pikir lebih besar korelasi yang harus diakui. Saya sudah mengecek di Barkeley, fakultas matematika di bagian aljabar yang tidak terlalu besar (ada sekitar 73 orang, tapi hanya 10 atau 15 orang saja yang ada hubungan dengan aljabar ), ada 5 orang dari Putnam.

   

Ingram Olkin. Saya pikir  jumlah menunjukkan caranya. Saya berharap semakin banyak orang yang menjadi pengikut Putnam. Ambil dari “ Transactions of The American Mathematical Society dan lihat jumlah orang yang diumumkan dalam 10 tahun ini dan lihat berapa jumlah pemenang Putnam. Saya tebak jumlahnya tidak sebesar total populasi.

John Addison. Nah, ada hal aneh yang mungkin sangat disayangkan, bahwa hal itu tampaknya mematikan lebih banyak orang dalam aljabar dan kombinatorik. Namun. Saya  akan mengatakan 5 dari 10 cukup mengesankan. Ini menimbulkan pertanyaan menarik, tentu saja, tentang apakah banyak dari orang-orang Putnam memulai kompetisi di sekolah tinggi. Sekarang ada tiga seri pengujian. Menarik untuk diketahui bahwa pengalaman panjang termasuk masa di Putnam telah memberi mereka karir dalam matematika. Apakah yang ingin dilakukan orang atau ini hanyalah suatu input positif?

Bob Davis.. Ed Dubinsky menunjukkan  bahwa ada dua hal mendasar yang kita hadapi dalam persiapan penelitian matematika dan literasi matematika umum. Yang menjadi pertanyaan saya apakah dua hal tersebut yang yang dikenal sebagai matematika atau yang lainnya?

        Saya mencari sekolah tingkat 9 kelas aljabar, disana saya matematika adalah hal yang sangat spesifik. Anda selalu diajarkan  apa yang harus dilakukan; Anda diberitahu persis bagaimana untuk melakukannya; dan Anda berada dalam masalah besar jika Anda melakukannya dengan cara lain. Ini dikenal sebagai matematika. Hal mendasar adalah mengikuti instruksi, melakukan apa yang diperintahkan, dan mengingat apa yang diberitahukan. Ini kegiatan yang sangat berbeda dari sebagian dari kita, termasuk saya sendiri, telah dianggap sebagai matematika, Beberapa masalah Putnam memberikan contoh-contoh ini lebih kepada matematika dalam bentuk-bebas. Mereka sangat berbeda dari masalah matematika sekolah, karena Anda tidak akan melakukan semua masalah dengan melakukan apa yang Anda diperintahkan untuk melakukan atau sesuatu yang sangat mirip dengan itu.

       Ada beberapa posisi yang bisa anda ambil tentang hubungan dua jenis masalah. Sebuah posisi yang sangat populer mengatakan bahwa Anda harus melalui semua perintah itu.. Saya tidak setuju  alasan ini karena  saya melihat dan menemukan bahwa anak-anak melakukan hal-hal menarik pada usia 6 tahun, jadi  kenapa mereka harus melakukan perintah-perintah seperti itu. Menurut saya tidak perlu seperti itu dalam mengajar matematika . Hal ini juga menjadi isu sosial. Lihatlah sekolah di New Jersey, saya lihat perubahan buruk karena mereka diajarkan: Jika kau belajar apa yang harus kau lakukan, bagaimana melakukannya, maka kau akan menemukan banyak pekerjaan untuk mu, padahal sesungguhnya tidak ada.

Alan Schoenfeld. Mari kita simpulkan diskusi ini dengan mengacu pada referensi yang dilakukan pada Bob’s Evaluation dari kurikulum matematika serta usulan Ed bahwa mungkin ada sekolah matematika dan matematika yang sesungguhnya.

Webster's New Universal kamus lengkap menawarkan definisi berikut dari masalah panjang.

Defenisi  1 : Sebuah pertanyaan yang membingungkan atau sulit.
Definisi   2 : Dalam matematika, apa pun perlu dilakukan.

Referensi

Schoenfel, Alan. H. 1994. Mathematical Thinking and Problem Solving. Lawrence Erlbaum Associates, Inc, Publishers 365 Broadway Hillsdale, New Jersey.