PEMA4101
Hakikat dan Sejarah Matematika
Sukardjono
3 sks / modul 1-9: ill.; 21 cm
ISBN : 9790111576
DDC : 510
Copyright (BMP) © Jakarta: Universitas Terbuka, 2007
Tinjauan Mata Kuliah Hakikat dan Sejarah Matematika
Sukardjono
3 sks / modul 1-9: ill.; 21 cm
ISBN : 9790111576
DDC : 510
Copyright (BMP) © Jakarta: Universitas Terbuka, 2007
Mata kuliah Hakikat dan Sejarah Matematika ini akan memberikan fasilitas kepada Anda untuk membangun (konstruksi) pengertian, sikap dan nilai Anda tentang apa matematika ditinjau dari hakikat dan sejarahnya sehingga terbuka kemungkinan pembelajaran matematika Anda di SMP atau SMA akan semakin efektif.
Seorang matematikawan dan filsuf
Amerika, Williams L. Schaaf pernah mengatakan: "Tidak seorang guru pun
dapat melakukan tugasnya dengan efektif dan kreatif tanpa pemahaman yang cukup
terhadap perkembangan bidang studi yang diasuhnya". Karena itu mata kuliah
ini sangat penting bagi Anda pengajar matematika di SMP maupun di SMA yang
tentunya setiap saat, selalu bersedia untuk meningkatkan mutu pembelajarannya. Dengan mempelajari mata kuliah ini Anda
akan lebih mantap dan percaya diri dalam melakukan pembelajaran matematika di
kelas.
Setelah mengikuti mata kuliah ini
Anda diharapkan mampu: - menjelaskan hakikat matematika, filsafat matematika, dan filsafat pendidikan matematika;
- menjelaskan bahwa matematika adalah warisan budaya manusia;
- menjelaskan perkembangan matematika sejak dahulu sampai masa kini;
- menjelaskan cara berpikir matematika;
- menjelaskan landasan-landasan dasar matematika;
- menjelaskan sifat-sifat kebenaran matematika;
- menjelaskan perkembangan geometri dan aklimatisasinya;
- menjelaskan bahwa matematika mampu berperan sebagai metode dan seni.
- Modul 1: Hakikat Matematika.
- Modul 2: Matematika sebagai Warisan Budaya.
- Modul 3: Perkembangan Matematika.
- Modul 4: Berpikir Matematis.
- Modul 5: Sifat Kebenaran Matematika (Bagian 1).
- Modul 6: Sifat Kebenaran Matematika (Bagian 2).
- Modul 7: Landasan Matematika.
- Modul 8: Geometri Aksiomatis dan Empiris.
- Modul 9: Matematika Sebagai Metode dan Seni.
MODUL 1: Hakikat
Matematika
Kegiatan Belajar 1: Matematika
dan Peradaban Manusia
Rangkuman
Matematika adalah alat yang dapat membantu memecahkan berbagai permasalahan (dalam pemerintahan, industri, sains). Dalam perjalanan sejarahnya, matematika berperan membangun peradaban manusia sepanjang masa.
Matematika adalah alat yang dapat membantu memecahkan berbagai permasalahan (dalam pemerintahan, industri, sains). Dalam perjalanan sejarahnya, matematika berperan membangun peradaban manusia sepanjang masa.
Metode yang digunakan adalah
eksperimen atau penalaran induktif dan penalaran deduktif. Penalaran induktif
adalah penarikan kesimpulan setelah melihat kasus-kasus yang khusus. Kesimpulan
penalaran induktif memiliki derajat kebenaran barangkali benar atau tidak perlu
benar.
Penalaran
deduktif adalah penarikan kesimpulan dari hal-hal yang umum ke hal yang khusus.
Kebenaran dalam penalaran deduktif adalah yakin benar atau pasti benar asalkan
asumsi yang mendasarinya juga benar.
Kegiatan
Belajar 2: Filsafat Matematika Rangkuman
Filsafat adalah ilmu pengetahuan yang menyelidiki hakikat sesuatu. Pakar filsafat disebut filsuf, dan adjektifnya filosofi. Setiap filsuf memiliki definisi sendiri-sendiri. Tidak bertentangan tetapi sering saling melengkapi dan ini menunjukkan luasnya bidang persoalan dalam filsafat. Empat hal yang merangsang manusia untuk berfilsafat: ketakjuban, ketidakpuasan, hasrat bertanya, dan keraguan. Sifat dasar filsafat adalah: berpikir radikal, mencari asas, memburu kebenaran, mencari kejelasan, dan berpikir rasional. Peranan filsafat adalah sebagai pendobrak, pembebas, dan pembimbing. Aristoteles membagi filsafat ke dalam filsafat teoretis, praktis, dan produktif. Filsuf yang lain membagi filsafat dengan cara lain pula. Epistemologi adalah cabang filsafat yang bersangkutan dengan ilmu pengetahuan. Pokok persoalan epistemologi adalah sumber, asal mula, sifat dasar, bidang, batas, jangkauan, dan validitas serta reliabilitas ilmu pengetahuan. Ontologi adalah cabang filsafat yang membahas segala sesuatu secara menyeluruh. Pembahasan apa yang tampil dan apa yang realita. Tiga teori dalam ontologi adalah: idealisme, materialisme, dan dualisme.
Filsafat
dari berbagai bidang ilmu: misalnya filsafat politik, ekonomi, bahasa, pendidikan,
matematika, hukum, dan sebagainya.
Filsafat
matematika dan filsafat umum dalam sejarahnya adalah saling melengkapi.
Filsafat matematika bersangkut paut dengan fungsi dan struktur teori-teori
matematika. Teori-teori itu terbebas dari asumsi-asumsi atau metafisik.
Filsuf
matematika yang dikenalkan di sini adalah Pythagoras, Plato, Aristoteles,
Leibniz, dan Kant. Doktrin Pythagoras antara lain bahwa fenomena yang tampak
berbeda dapat memiliki representasi matematis yang identik (cahaya, magnet,
listrik - sebagai getaran - dapat memiliki persamaan diferensial yang sama). Aristoteles menekankan, menemukan 'dunia
permanen' merupakan realita daripada 'apa yang tampak'. Aristoteles lebih
menekankan pada 'absraksi' daripada 'apa yang tampak'. Leibniz dan Kant
menekankan pada proposisi matematis.
Kegiatan
Belajar 3: Filsafat Pendidikan Matematika Rangkuman
Filsafat pendidikan adalah pemikiran-pemikiran filsafat tentang pendidikan. Dapat mengonsentrasikan pada proses pendidikan, dapat juga pada ilmu pendidikan. Jika mengutamakan proses pendidikan, yang dipersoalkan adalah cita-cita, bentuk, metode, dan hasil dari proses pendidikan. Jika mengutamakan ilmu pendidikan maka yang menjadi pusat perhatian adalah konsep, ide, dan metode pengembangan dalam ilmu pendidikan. Filsafat pendidikan matematika termasuk filsafat yang membahas proses pendidikan dalam bidang studi matematika. Aliran-aliran yang berpengaruh dalam filsafat pendidikan antara filsafat analitik, progesivisme, eksistensialisme, rekonstruksionisme, dan konstruktivisme.
Pendidikan
matematika adalah bidang studi yang mempelajari aspek-aspek sifat dasar dan
sejarah matematika, psikologi belajar dan mengajar matematika, kurikulum
matematika sekolah, baik pengembangan maupun penerapannya di kelas.
Filsafat
konstruktivisme banyak mempengaruhi pendidikan matematika sejak tahun sembilan
puluhan. Konstruktivisme berpandangan bahwa belajar adalah membentuk pengertian
oleh si belajar. Jadi siswa harus aktif. Guru bertindak sebagai mediator dan
fasilitator.
MODUL 2: Matematika sebagai Warisan Budaya
Kegiatan
Belajar 1: Matematika Empiris (Abad ke-6 SM - 1850) Rangkuman
Pusat perkembangan aritmetika
1000 SM - 600 SM
|
:
|
Sumeria, Babilonia, Mesir kuno
|
Pengembang
aritmetika: pedagang, orang-orang awam
|
||
600 SM - 300 SsM
|
:
|
YunaniPengembang:
para Filsuf, terutama Pythagoras
|
Pengembang:
para Filsuf, terutama Pythagoras
|
||
300 - 1200
|
:
|
Stagnan.
Di Eropa ada beberapa orang
|
Boethius, Alcuino, Gerbert, Leonardo Fibonacci
|
||
1200 - 1800
|
:
|
di Eropa, fajar menyingsing
|
Robert Recorde, Gemma Frietius,
Simon Steven, John Napier, Newton, Leibniz
|
Budaya yang paling menonjol
dapat dikatakan sebagai ciri khas budaya suatu bangsa. Ciri khas bangsa Yunani kuno adalah ide-ide
idealnya, bangsa Romawi dengan budaya politik, militer dan suka menaklukkan
bangsa lain. Bangsa Mesir kuno dengan seni keindahan dan juga mistik. Tahun 600
- 1200 ciri khas budaya bangsa Eropa adalah teologis. Tahun 1200 - 1800 budaya
bangsa Eropa mulai eksplorasi alam sebelum revolusi industri. Abad ke-19, dan
20 penciptaan mesin-mesin otomatis berbarengan dengan kemajuan dalam bidang
sains dan matematika.
Bangsa-bangsa
Babilonia, Mesir, Sumeria dapat dipandang sebagai matematika empiris. Nama ini
berkaitan dengan perkembangan matematika yang selalu untuk memenuhi keperluan
dalam perdagangan, pengukuran, survei, dan astronomi. Dengan kata lain
matematika diangkat dari pengalaman manusia bergelut dengan masalah-masalah
praktis dalam kehidupan sehari-hari. Walaupun demikian matematika empiris ini
telah mengantisipasi datangnya matematika non-empiris seperti telah
digunakannya bilangan negatif, dan sistem bilangan alam atau asli yang menuju
ketakhingga.
Kontribusi
paling menonjol bangsa Yunani terhadap perkembangan matematika terletak pada
dipilihnya metode deduktif dan kepercayaannya bahwa fenomena alam dapat
disajikan dalam lambang-lambang bilangan. Dan ini terbukti sekarang telah
ditemukan alat-alat elektronik digital.
Bangsa
Eropa sendiri baru belakangan tertarik pada matematika. Selama 1000 tahun matematika berkembang di Asia
kecil (Yunan, Arab). Tahun 400 - 120 perkembangan matematika dapat dikatakan
mandek, hanya beberapa gelintir orang mengembangkan secara individual (tanpa
ada komunikasi satu sama lain), di antara mereka adalah Boethius, Alcuino, dan
Gerberet, dan yang paling akhir Leonardo Fibonacci.
Barulah pada abad ke-16, pusat
perkembangan matematika berada di Eropa. Kegiatan Belajar 2: Matematika Kontemporer (1850 - Sekarang)
Rangkuman
Aritmetika memiliki peran ganda: sebagai alat bantu sains dan perdagangan, dan sebagai uji komparatif landasan dasar tempat sistem matematika itu dibangun. Hogben, Well, dan McKey dan lain-lain telah melukiskan peran aritmetika dengan indahnya.
Perkembangan
kalkulasi yang paling spektakuler adalah diciptakannya "otak
elektronik", komputer. Komputer lebih banyak memerlukan matematika
daripada aritmetika elementer. Penciptaan komputer memerlukan kolaborasi para
pakar matematika, aritmetika, dan ahli teknik pakar mesin.
Pada
abad 20 perkembangan aritmetika makin abstrak dan tergeneralisasi.
Perkembangannya mengacu pada aljabar dan analisis guna lebih
"mengeraskan" aritmetika. Sebaliknya yang terakhir ini disebut
"arimetisasi"
Abstraksi
dan generalisasi pada abad 20 telah diantisipasi oleh Lobachevsky dengan
munculnya geometri non-euclidnya. Selanjutnya pakar-pakar lain seperti Peacock,
Gregory, DeMorgan, memandang aljabar dan geometri sebagai
"hipothetico-deductive" dengan cara Euclid.
Dengan kritikan tajam oleh
Cantor, Dedekind, dan Weirstrass terhadap sifat-sifat sistem bilangan (seperti
faktorisasi, habis dibagi dan sebagainya) pada tahun 1875, pada tahun 1899
Hilbert muncul dengan "metode postulatsional". Dengan demikian, dari pandangan ini, bilangan,
titik, garis dan sebagainya adalah abstrak murni, tidak mempunyai kaitan dengan
benda fisik. Akhirnya Peano berjaya menjelaskan bahwa sistem bilangan 1, 2, 3,
. . . dapat diperluas (dalam arti dapat "menghasilkan") sistem
bilangan bulat, rasional, real, dan kompleks hanya melalui postulat pada
bilangan alam.
Permasalahan
terakhir adalah masalah "landasan" atau "pondasi"
matematika atas mana struktur matematika itu dibentuk.
Matematika
yang telah berkembang selama dua ribu lima ratus tahun oleh generasi ke
generasi, ternyata dapat diajarkan kepada anak-anak "hanya" dalam
beberapa tahun di sekolah. Oleh karena itu, Prof Judd (psikolog) mengatakan
bahwa aritmetika adalah kreasi manusia paling perfect (sempurna) dan alat untuk
berkomunikasi sesama manusia. Dengan demikian matematika perlu dijaga dan
dikembangkan untuk mengantarkan manusia menyongsong hari esok yang cerah.
MODUL 3: Perkembangan Matematika
Kegiatan
Belajar 1: Perkembangan Sebelum Renaissance Rangkuman
Perkembangan matematika dilihat dari produktivitas baik kuantitatif maupun kualitatif dari waktu ke waktu makin meningkat dan sangat cepat. Perbandingan ini dikaitkan dengan skala waktu. Perbandingan produktivitas terhadap skala waktu, secara kuantitatif dapat digambarkan mendekati secara eksponensial pertumbuhan biologis.
Ada
dua macam pembagian mengikuti waktu atau periode perkembangan. Yang pertama,
pembagian waktu ke dalam tiga periode, yakni, "dahulu",
"pertengahan", dan "sekarang". Pembagian ini berdasarkan
pertumbuhan matematika sendiri dan daya tahan hidup sesuai zamannya. Yang
kedua, pembagian menurut cara konvensional dalam tujuh skala waktu menurut
penemuan naskah yang dapat dihimpun, yakni (1) Babilonia dan Mesir Kuno, (2)
Kejayaan Yunani (600 SM - 300), (3) Masyarakat Timur dekat (sebagian sebelum
dan sebagian lagi sesudah (2)), (4) Eropa dan masa Renaissance, (5) Abad ke-17,
(6) Abad ke-18 dan 19, dan (7) Abad ke-20. Pembagian ini mengikuti perkembangan
kebudayaan Eropa.
Setiap
periode, baik yang membagi menjadi 3 atau pun 7, memiliki ciri khas yang umum.
Pada periode "dahulu", ciri khasnya adalah empiris, mendasarkan pada
pengalaman (indera) hidup manusia. Periode "pertengahan" mulai dengan
analisis (Descartes, Newton, Leibniz, Galileo), sedangkan pada periode
"sekarang" ciri khasnya adalah metode abstraksi dan generalisasi.
Ternyata perkembangan matematika dilihat dari kualitas dan kekuatannya jauh
lebih penting daripada dilihat secara kuantitas. Ingatlah akan definisi
matematika yang mengatakan "matematika adalah cara berpikir dan
bernalar", lihat Modul 1. Sedang kekuatannya, misalnya, lihatlah geometri
Euclid dibanding dengan geometri non-euclid, yang terakhir ini mampu
menyelesaikan masalah lebih rumit (geometri non-euclid digunakan dalam
mengembangkan teori relativitas dalam ilmu fisika)
Walaupun
demikian kadang-kadang korelasi antara perkembangan matematika dan kebudayaan
kadang-kadang korelasi itu negatif.
Kegiatan
Belajar 2: Perkembangan Matematika Sesudah Renaissance Rangkuman
Masing-masing dari 7 periode terdapat peningkatan kematangan yang signifikan, namun juga terdapat keterbatasannya. Pada periode Yunani, matematika masih bersifat empiris. Pada abad ke-17, kekurangan itu diperbaiki dengan munculnya geometri analitik, proyektif, dan diferensial pada abad berikutnya. Revitalisasi diperlukan agar pertumbuhan matematika makin berkembang dan dapat digunakan dalam ilmu lainnya. Yang terakhir muncul geometri baru (non-euclid) dan menyingkirkan geometri euclid (lama).
Dalam periode terakhir, daerah
jelajah matematika makin luas. Beberapa cabang menjadi terlepas dari induknya
dan menjadi otonom. Beberapa di antaranya diserap dalam wadah yang lebih besar,
misalnya analisis telah menggeneralisasi geometri. Pelarian dan penangkapan
kembali ini mengilhami para matematikawan untuk merangkum kembali seluruh
matematika. Awal abad ke-20 dipercayai unifikasi akan dicapai melalui logika
matematis (Bertrand Russell). Ternyata harapan ini sia-sia dan terlepas.
Motivasi yang melatar-belakangi
perkembangan matematika semula diperkirakan ekonomi. Penelitian lebih mendalam
ternyata tidak demikian. Latar
belakang ekonomi benar untuk matematika praktis yang diterapkan pada
perdagangan, asuransi, sains, dan teknologi. Namun perkembangan matematika
dapat dimotivasi oleh agama (mistik), kuriositas intelektual, bahkan hanya
untuk 'makanan' para pakar matematika. Bagi para pakar matematika 'murni' tidak
ada tujuan apa pun terkecuali untuk mengembangkan teorinya yang rigor, tanpa
memikirkan apakah kelak berguna atau tidak (baca lagi sisa-sisa zaman).
Banyak
matematika yang telah dikembangkan begitu sulit oleh para pekerja matematika,
namun hasilnya terkubur begitu saja. Setiap zaman meninggalkan hasil-hasil yang
rinci. Sebagian hanya menarik bagi sejarawan matematika. Jadi hasil-hasil karya
setiap zaman dapat saja terkubur, tetapi tidak perlu mati. Dan pekerja yang
sudah bersusah-payah ini memang tidak perlu sia-sia.
MODUL 4: Berpikir Matematis
Kegiatan
Belajar 1: Persyaratan Aksioma dalam Sistem Matematis Rangkuman
Sejak awal perkembangannya sampai kira-kira abad ke-16, matematika tidak pernah mengenal kreasi matematika baru, sehingga orang mengatakan matematika adalah statis. Tetapi pendapat ini menjadi tidak benar sebab setelah abad ke-17, Descartes menemukan geometri analitik. Lebih-lebih setelah Bolyai dan Lobachevsky menemukan geometri non-euclid. Ini memicu tumbuhnya metode postulatsional atau metode aksiomatis pada abad ke-19. Pemunculan metode ini dipandang sebagai fajar menyingsing perkembangan matematika. Mulai saat itu, hampir setiap hari dikreasi matematika baru.
Euclid,
guru besar di Aleksandria, Mesir, setelah zaman Aristoteles, menulis buku
geometri secara aksiomatis. Namun perangkat aksioma buatan Euclid masih kurang
rigor (tajam). Kurang rigor-nya ini disebabkan diberinya definisi term-term
penyusun aksioma. Contoh: Melalui dua titik yang berlainan hanya terdapat satu
garis lurus yang menghubungkan keduanya. Kemudian ia mendefinisikan: titik
adalah sesuatu tidak memakan tempat. Pembuka jalan metode aksiomatis adalah
Bolyai dan Lobachevsky dalam buku mereka geometri non-euclid. Tetapi yang
dianggap pelopornya adalah Peano dan More dari Amerika Serikat, sedangkan
Hilbert yang paling berpengaruh.
Sebuah
sistem matematika diawali dengan perangkat aksioma. Sejak awal abad ke-19
dikehendaki adanya persyaratan baku untuk suatu perangkat aksioma.
Persyaratan
ini adalah konsistensi, independensi, dan kategoris. Agar syarat-syarat rigor
dipenuhi, banyaknya term tak didefinisikan harus diminimalkan.
Perangkat
aksioma dikatakan konsisten jika tidak ada jalan logis yang mendeduksi kontradiksi
di antara proposisi-proposisi yang dihasilkan. Dikatakan independen jika setiap
proposisi dalam perangkat aksioma tidak dapat dideduksi dari
proposisi-proposisi lainnya dalam perangkat itu. Dikatakan kategoris jika dapat
dibentuk isomorphisma dari himpunan-himpunan yang disajikan secara aktual dari
perangkat aksioma.
Kegiatan
Belajar 2: Peran Logika dalam Sistem Matematika Rangkuman
Pythagoras mengusulkan adanya konsep untuk 'bukti' yang baku dan jelas dan disetujui oleh semua pakar. Aristoteles menyusun hukum dasar logika yang pertama kali. Ternyata hukum dasar itu identik dengan perangkat aksioma. Term tak didefinisikan dalam aksioma disebut kata primitif dalam logika. Dengan sistem aksioma dalam geometri Euclid, diubah oleh Lobachevsky dan Bolyai, maka kemudian ada maksud mengembangkan logika modern. Russell dan Whitehead telah berhasil menyusun membangun hukum dasar logika modern. Dalam sistemnya mereka memasukkan kata-kata atau, dan, negasi dan sebagainya. Hukum dasar Aristoteles dipandang hanya berlaku untuk semesta tertentu. Hukum dasar logika modern bersifat semesta. Artinya semua matematika dan sains dapat menggunakan hukum dasar logika modern guna menarik kesimpulan, dan tidak tergantung jenis logika yang digunakan. Ternyata baik aksioma matematika maupun hukum dasar logika adalah variabel. Lucasiewics berjaya menyusun sistem logika modern. Keuntungannya tidak perlu lagi menggunakan tabel-tabel matriks nilai kebenaran untuk setiap kemungkinan nilai kebenaran komponennya. Dan dapat langsung untuk sebarang nilai kebenaran komponen-komponennya.
Russell
menganggap matematika adalah cabang logika (logistik), Hilbert memandang logika
adalah cabang matematika (formalis). Brouwer tidak menyetujui kedua-duanya dan
mengatakan setiap keberadaan matematika harus ada jalan mengkonstruksinya
(intuisionis). Ini yang kemudian menjadikan suasana bimbang dan tidak pasti.
MODUL 5: Sifat Kebenaran Matematika (Bagian 1)
Kegiatan
Belajar 1: Aksioma dan Proposisi Matematika Rangkuman
Teori sains empiris, misalnya fisika atau psikologi, dikatakan benar sejauh teori itu cocok dengan bukti empiris atau kenyataan luar. Matematika tidak demikian. Kebenaran matematika tidak ada sangkut pautnya dengan bukti empiris. Kebenaran matematika diperoleh dari makna kata-kata yang terkandung dalam proposisi yang bersangkutan.
Karena
dalam sistem matematika diawali dengan perangkat aksioma dan teori-teori
matematika diturunkan secara logis (dengan perangkat logika yang telah
ditetapkan) dari aksioma, kebenaran matematika disebut kebenaran kondisional.
Kebenaran perangkat aksioma
bukanlah self-evident truth, dan bukan pula sains empiris paling umum.
Kebenaran matematika adalah kebenaran apriori, sedangkan kebenaran sais empiris
adalah postteori yakni teori itu benar selama masih cocok dengan fakta aktual,
atau sampai ada bukti lain yang menolaknya.
Kegiatan
Belajar 2: Sistem Aksioma Peano sebagai Basis Matematika
Rangkuman
Aksioma Peano adalah sebuah contoh sistem aritmetika postulatsional. Aksioma Peano sangat mengagumkan. Perangkat aksioma ini terdiri dari 5 postulat dengan definisi rekursif (maju atau mundur) bilangan-bilangan alam, misalnya 4 = 3´ = (2´ )´ = ((1´ )´ )´ = (((0´ )´ )´ )´ ,. Atau 0´ = 1, 1´ = 2, 2´ = 3, dst. P4 membatasi bahwa setelah bilangan 0 tidak dapat mundur lagi. Dengan menambahkan definisi jumlah D1(a), (b) dan definisi kali D2(a) dan (b), maka dapat dibuktikan sifat-sifat operasi assosiatif, komutatif, dan distributif untuk kedua operasi yang didefinisikan.
Rangkuman
Aksioma Peano adalah sebuah contoh sistem aritmetika postulatsional. Aksioma Peano sangat mengagumkan. Perangkat aksioma ini terdiri dari 5 postulat dengan definisi rekursif (maju atau mundur) bilangan-bilangan alam, misalnya 4 = 3´ = (2´ )´ = ((1´ )´ )´ = (((0´ )´ )´ )´ ,. Atau 0´ = 1, 1´ = 2, 2´ = 3, dst. P4 membatasi bahwa setelah bilangan 0 tidak dapat mundur lagi. Dengan menambahkan definisi jumlah D1(a), (b) dan definisi kali D2(a) dan (b), maka dapat dibuktikan sifat-sifat operasi assosiatif, komutatif, dan distributif untuk kedua operasi yang didefinisikan.
Dengan
mendefinisikan bilangan positif, negatif, rasional, dan kompleks dengan
cara-cara yang sesuai hanya dengan mengambil term-term primitif yang termuat
dalam aksioma, semua sistem bilangan memenuhi aksioma. Demikian pula fungsi
aljabar seperti fungsi kontinu, limit, kalkulus dsb. Dengan hasil ini maka
dikatakan bahwa aksioma Peano merupakan basis matematika.
MODUL 6: Sifat Kebenaran Matematika (Bagian 2)
Kegiatan
Belajar 1: Kebenaran Konsep-konsep dalam Matematika Rangkuman
Aksioma Peano memuat tiga term tak didefinisikan: '0', 'bilangan', dan 'pengikut' dan 5 buah aksioma. Term-term tak didefinisikan dapat diberi makna biasa, dan secara teoretis dalam takhingga cara. Tetapi makna biasa ini harus mengubah kelima aksioma menjadi proposisi-proposisi yang bernilai benar. Selanjutnya dapat diciptakan definisi kata-kata baru dari term-term yang telah diberi makna biasa itu. Syaratnya definisi ini harus menjadi proposisi yang bernilai benar. Dari definisi dan aksioma dalam makna biasa akan diperoleh teori-teori melalui deduksi logis. Dengan demikian teori yang telah diperoleh dengan makna biasa ini menjadi sistem matematika yang letak kebenarannya ada pada definisi-definisi itu.
G.
Frege, Russell dan Whitehead telah secara rinci memberi makna biasa dari
term-term tak didefinisikan Peano dan membuat definisi-definisi dengan teknik
lambang logika. 'Bilangan 2' dalam primitif Peano adalah kosong dari arti.
Bilangan 2 adalah makna 'biasa'. Bilangan alam 2 (biasa) adalah ciri khas dari
koleksi himpunan-himpunan C terdiri dari objek-objek, yakni n(C) = 2. Bilangan
2 didefinisikan sebagai berikut: "Terdapat objek x dan objek y sedemikian
rupa sehingga (1) x C dan y C, (2) x y, (3) Jika z C adalah sebarang anggota di
C, maka z = x atau z = y" Dari definisi ini kita dapat menyimpulkan bahwa
n(C) = 2 dengan pertolongan logika.
Kegiatan Belajar 2: Kebenaran
Matematika dalam Sains Empiris Rangkuman
Tiga term primitif Peano adalah '0', 'bilangan', dan 'pengikut', dapat diinterpretasikan dengan makna biasa dengan banyak cara. Misalnya, primitif 'bilangan' diartikan bilangan alam 0, 1, 2, 3, ... Primitif dalam makna biasa ini didefinisikan melalui konsep-konsep logika (ada 4 konsep pokok). Ternyata aksioma-aksioma Peano, melalui deduksi, menjadi proposisi-proposisi. Selanjutnya jika perlu diteruskan dengan membuat definisi-definisi non-primitif melalui prinsip-prinsip logika. Dengan cara ini seluruh teori matematika dapat dideduksi dengan menggunakan konsep-konsep logika dan jika diperlukan ditambahkan 'aksioma pilihan' dan 'aksioma infinit'. Dari kenyataan ini maka timbullah pemikiran bahwa matematika adalah cabang logika. Akibat selanjutnya ialah bahwa kebenaran matematika terletak pada definisi-definisi itu. Inilah letak kebenaran aksioma Peano dalam makna biasa. Berbeda dengan teori geometri, geometri dipandang sebagai studi tentang struktur ruang fisik, maka primitif-primitifnya harus dibangun dengan mengacu pada entitas fisik jenis tertentu. Jadi, dengan demikian kebenaran teori geometri dalam interpretasi ini terletak pada persoalan empiris.
Tentang
kegunaan matematika dalam sains empiris, harus dilihat dengan telaah lebih
mendalam. Sebagian terbesar perkembangan sains empiris (IPA dan IPS) telah
diperoleh melalui penerapan terus menerus proposisi-proposisi matematika. Akan
tetapi perlu diingat, bahwa fungsi matematika di sini bukan memprediksi,
melainkan sebagai analisis atau ekspliaktif. Matematika membuka asumsi-asumsi
secara eksplisit atau membuka asersi-asersi yang termuat dalam premis-premis
argumen. Matematika membuka data, yakni, mana yang diketahui dan mana yang
dipersoalkan. Jadi, penalaran matematis dan logis adalah teknik konseptual
membuka perangkat premis-premis yang implisit menjadi premis-premis yang
eksplisit.
MODUL 7: Landasan Matematika
Kegiatan
Belajar 1: Landasan dan Paradoks dalam Matematika Rangkuman
Krisis landasan dalam matematika selalu diawali dengan munculnya paradoks atau antinomi dalam matematika.
Krisis
I. Pada abad ke-5 SM, muncul paradoks bahwa ukuran sama jenis (dalam geometri)
adalah proporsional. Konsekuensi dari paradoks ini menjadikan semua 'teori
proporsi' model Pythagoras dicoret dan dinyatakan salah. Krisis ini tidak
segera di atasi dan baru sekitar 500 tahun kemudian oleh Eudoxus dengan
penemuannya bilangan rasional pada tahun 370 SM.
Krisis
II. Pada abad ke-17, Newton dan Leibniz menemukan kalkulus. Hasil ini sangat diagungkan karena
penerapannya yang gemilang, dengan konsepnya 'infinitesial'. Malangnya,
hasil-hasil penerapannya justru digunakan untuk menjelaskan landasannya. Krisis
ini dapat diatasi pada abad ke-19 oleh Cauchy dengan memperbaiki konsep
kalkulus melalui konsep 'limit'. Dengan aritmetisasi oleh Wierstrass, krisis
landasan II telah diatasi.
Abad
ke-19 Cantor menemukan teori himpunan. Teori ini disambut antusias oleh para
matematikawan dan teori himpunan telah menjadi landasan cabang-cabang
matematika. Burali Forti, Bertrand Russel mengajukan paradoks-paradoks dalam
teori himpunan. Misalnya H = {x | x H}, yakni, H adalah himpunan semua x
sedemikian sehingga x H. Sampai sekarang krisis belum dapat diatasi. Melalui
filsafat (yang selalu mencari sesuatu yang hakiki) dilakukan program-program
mengatasi krisis. Ada tiga kelompok besar yang ingin mengatasi krisis ini, yang
memunculkan tiga aliran: logistis, formalis, dan intuisionis.
Kegiatan
Belajar 2: Macam-macam Aliran dalam Membangun Landasan Rangkuman
Krisis landasan matematika, terutama yang berlandaskan teori himpunan dan logika formal, memaksa para matematikawan mencari landasan filsafat yang ingin mengonstruksi seluruh massa matematika yang besar, sehingga dapat diperoleh landasan yang kokoh. Mereka terpecah ke dalam tiga aliran besar filsafat matematika: logistis, intuisionis, dan formalis.
Kaum
logistis dengan pimpinan Bertrand Russell dan Whitehead, menganggap bahwa
sebagai konsekuensi dari programnya, matematika adalah cabang dari logika. Oleh
karena itu, seluruh matematika sejak zaman kuno perlu dikonstruksi kembali ke
dalam term-term logika. Hasil program ini adalah karya monumental
"Principia Mathematica". Dalam buku ini hukum 'excluded middle' dan
hukum 'kontradiksi' adalah ekuivalen. Kesulitan timbul salam usaha mereka
merakit beberapa metode kuno untuk menghilangkan aksioma reduksi yang tidak
disukai.
Kaum
intuisionis dengan pimpinan Brouwer, menganggap, sebagai konsekuensi dari
programnya, bahwa logika adalah cabang dari matematika. Matematika haruslah
dapat dikonstruksi seperti bilangan alam dalam sejumlah langkah finit. Mereka
menolak hukum 'excluded middle' jika akan diberlakukan untuk langkah infinit.
Heyting membangun perangkat logika-intuisionis dengan lambang-lambang yang
diciptakannya. Kesulitan yang timbul adalah berapa banyak keberadaan matematika
dapat dibangun tanpa tambahan (perangkat logika) yang diperlukan.
Kaum
formalis dengan pimpinan Hilbert menganggap bahwa matematika, sebagai
konsekuensi dari programnya, adalah sistem lambang formal tanpa makna. Untuk
mengonstruksi seluruh matematika yang telah ada, diperlukan 'teori bukti' untuk
menjamin konsistensinya. Dengan lambang-lambang formal kaum formalis
menghasilkan karya monumentalnya "Grunlagen der Mathematik:", jilid I
dan II. Malangnya, K. Godel, matematikawan Italia menunjukkan bahwa konsistensi
suatu perangkat aksioma karya Hilbert 'tak dapat ditentukan', bahkan sebelum
buku Hilebrt II diterbitkan.
John
von Neumann (1903 - 1957)
John
von Neumann termasuk salah satu matematikawan abad 20. Seperti kebanyakan
matematikawan yang lain ia pun berkontribusi penting baik dalam matematika
maupun dalam sains. Von Neumann khususnya tertarik pada permainan strategi dan
peluang. Jadi tidak mengejutkan apabila ia adalah salah seorang yang membuka
bidang matematika baru yang disebut game theory (teori permainan). Dengan
menggunakan peluang yang terlibat dalam peluang strategi dan ia membuat
strategi yang menghasilkan "pemenang" dalam permainan pembuatan
keputusan, teori permainan von Neumann dapat menyelesaikan masalah-masalah
dalam ekonomi, sains, dan strategi militer.
Von
Neumann dilahirkan di Budapest, Hongaria. Ketika berusia 6 tahun, ia mampu melakukan operasi
pembagian seperti 78.463.215: 49.673.235 di luar kepala. Pada usia 8 tahun ia
telah memperoleh master dalam kalkulus dan mempunyai trik tertentu mengingat
dalam sekali pandang terhadap nama, alamat, dan nomor telepon dalam satu kolom
buku telepon. Ketika berusia 23 tahun ia menulis sebuah buku berjudul
Mathematical Foundations of Quantum Mechanics, yang digunakan dalam
pengembangan energi atom.
Pada
tahun 1930, von Neumann hijrah ke Amerika Serikat untuk memangku jabatan guru
besar dalam fisika-matematika pada Universitas Princeton. Ia menjadi berminat
dalam penggunaan komputer berskala besar dan ia salah satu pembangun otak
elektronik modern, yang disebut MANIAC (Mathematical Analyzer, Numerical
Integrator and Computer). Sebagai penasihat selama Perang Dunia II, ia memberi
kontribusi dalam mendisain senjata dan peluru nuklir.
Von
Neumann mempunyai banyak minat intelektual, namun kebanggaan terbesarnya adalah
menyelesaikan masalah. Suatu ketika ia menjadi begitu berminat adalah sebuah
masalah ketika dalam perjalanan ia ingin menelepon istrinya untuk mencari tahu
mengapa ia melakukan perjalanan. Karena kemampuan von Neumann menyelesaikan
masalah, cakrawala matematis kita telah makin luas.
MODUL 8: Geometri Aksiomatis dan Empiris
Kegiatan
Belajar 1: Geometri Aksiomatis Rangkuman
Kebenaran hipotesis atau teorema dalam sains empiris hanya untuk 'sementara waktu', atau 'sampai ditemukan ketidakcocokannya dengan data empiris baru'. Sebaliknya kebenaran dalam matematika, sekali dibangun 'untuk selama-lamanya'. Kebenaran matematika dapat dipahami melalui analisis metode bagaimana matematika itu dibangun. Metode demikian adalah demonstrasi-matematis yang terdiri dari deduksi logis dari aksioma atau suatu teorema yang dideduksi dari teorema-teorema yang telah terlebih dahulu dibuktikan kebenarannya. Agar langkah mundur ini tidak berkesudahan, maka harus ada proposisi yang diterima tanpa bukti, yang disebut perangkat aksioma atau postulat.
Dalam
geometri khususnya ternyata perangkat aksioma Euclid tidak cukup, artinya ada
teorema-teorema yang tidak dapat dibuktikan secara langsung melalui deduksi
logis postulat-postulatnya. Dalam
buku Euclid, suatu teorema kadang-kadang dibuktikan dengan menggunakan intuisi
hubungan geometri, misalnya gambar dan pengalaman dengan benda tegar.
Ketidak-cukupan ini oleh Hilbert ditambah dengan postulat 'terletak' dan
'antara'. Postulat kesejajaran Euclid terbukti tidak dapat dideduksi dari
postulat-postulat lainnya. Hal ini menggelitik para pakar untuk 'mengganti'
postulat ini dengan postulat yang lain. Hasilnya, Lobachevsky dan Bolyai
menemukan geometri hiperbolik sedangkan Riemann menemukan geometri eliptik,
kedua-duanya dikategorikan sebagai geometri non-euclid.
Kepastian
matematis dikatakan relatif terhadap perangkat aksioma yang mendasarinya tempat
diturunkannya suatu teorema, dan dikatakan perlu karena teorema-teorema
sebenarnya hanyalah secara implisit telah terkandung dalam perangkat postulat
itu. Oleh karena perangkat postulat tidak mengacu kepada data empiris, maka
sebagai konsekuensinya, teorema-teorema pun tidak mengacu kepada data empiris.
Dan Anda juga tahu bahwa kebenaran suatu aksioma adalah apriori, sebuah
kebenaran yang diperoleh dari kata-kata yang dikandungnya.
Kegiatan
Belajar 2: Geometri Empiris Rangkuman
Geometri murni adalah geometri yang dikembangkan melalui metode formal murni (aksiomatis). Geometri ini sama sekali tidak berkaitan dengan material fisik khusus. Postulat-postulat ditetapkan dan teorema-teorema diperoleh melalui deduksi logis menggunakan logika formal, dan analisis konsep, kosong dari arti. Kebenarannya adalah persis (pasti dan perlu). Adanya nama-nama seperti titik, garis, dan sebagainya. yang sama dengan nama-nama fisik hanyalah kebetulan saja.
Geometri
dalam sejarah perkembangannya memang merupakan generalisasi dari pengalaman
empiris dalam berbagai praktik keteknikan sederhana. Oleh karena itu, juga
sering disebut sebagai teori struktur ruang fisik, atau geometri fisik.
Geometri fisik dapat diperoleh melalui interpretasi semantik, yakni, pemberian
makna khusus, designatum, kepada primitif-primitif yang harus memenuhi semua
perangkat aksioma dalam geometri murni. Akibatnya semua geometri murni menjadi
teorema yang bermakna - pernyataan fisik dan sepenuhnya terhadap
teorema-teorema di dalamnya dapat dimunculkan sifat benar-salah. Jadi
interpretasi semantik kepada primitif ke dalam makna khusus ini akan mengubah
geometri murni menjadi geometri fisik. Term 'segitiga' adalah term dalam
geometri murni, sedangkan term 'daerah segitiga' adalah term dalam geometri
fisik. Term-term 'persegi kertas', 'persegi kerangka'
adalah term-term dalam geometri fisik. Demikian pula luas daerah lingkaran
adalah kali kuadrat jari-jari adalah teorema dalam geometri fisik.
Jika geometri fisik digunakan
menyelesaikan masalah yang terkait dengan pengalaman sehari-hari dan kemudian
ada ketidakcocokan, maka ketidakcocokan ini harus dicari dari situasi fisiknya.
Masalah ini dinamakan konvensi Poincare. Penalarannya adalah sebagai berikut.
Jika geometrik fisik G akan diuji kebenarannya, maka pengujian itu tentu
melibatkan benda (sains) tertentu P (misalnya pengukuran atau observasi
sistematik). Hasil ujinya adalah konfirmasi G-P, dan bukan hanya G sendiri.
Jika hasil amatan ternyata tidak cocok, maka yang perlu divalidasi adalah P dan
bukan G.
Apakah ruang fisik berstruktur
euclid atau non-euclid, hanyalah masalah konvensi saja. Poincare selalu
mengambil geometri euclid sebagai struktur ruang fisik, tetapi ketika Einstein
mengambangkan teori relativitas umumnya, ia mengambil geometri-eliptik
(non-euclid) sebagai struktur ruang fisik.
MODUL 9: Matematika sebagai Metode dan Seni
Kegiatan
Belajar 1: Matematika sebagai Metode Rangkuman
Walaupun tidak sempurna, matematika aksiomatis dibuka oleh geometri Euclid pada abad ketiga. Peano membuat aksioma yang mula-mulanya untuk bilangan alam. Aksioma ini berbuah lebat. Hilbert menyempurnakan aksioma Euclid. Perangkat aksioma harus memenuhi syarat tertentu antara lain: (a) terdiri dari kata-kata yang kosong dari arti (primitif), (ii) banyaknya primitif harus minimal, (iii) perangkat primitif harus konsisten, dan independen. Teorema-teorema dideduksi secara logis dengan menggunakan logika formal. Dengan metode langkah-langkah seperti itu maka muncul matematika baru yang disebut sistem matematika. Karena itu geometri dapat dipandang sebagai sebuah metode (metode membangun karya matematis).
Dalam geometri murni, term-term
primitif kosong dari arti. Teorema-teorema
dideduksi secara logis menggunakan logika formal. Teorema-teorema pun kosong
dari arti. Kebenaran teorema-teorema ini adalah kondisional.
Dalam
geometri fisik atau orang awam menyebutnya geometri empiris, perangkat aksioma
diambil dari geometri murni dengan cara memberi makna fisik untuk term-term
primitif. Teorema-teorema kemudian juga mengandung makna fisik. Sekarang
perangkat aksioma dan teorema-teorema dalam geometri fisik bernilai benar.
Untuk
pengembangan teorema-teorema matematikawan memiliki daya imajinasi, abstraksi,
inspirasi, dan kreativitas, yang pada umumnya juga berdasarkan pengalaman.
Kegiatan
Belajar 2: Matematika adalah Seni Keindahan Rangkuman
Sekarang kita kembali ke pertanyaan awal kita. Apakah matematika itu? Kita mampu mengatakan bahwa dalam nurani manusia, suatu kehidupan, selalu berubah, entitas eksklusif, terdapat unsur-unsur yang menghasilkan seni dan pengetahuan. Jika kita pelajari apa yang mereka hasilkan, kita dapati bahwa yang dihasilkan itu disebut keindahan, dan memuat unsur-unsur yang dapat kita pandang baik dari sisi dinamika kehidupan sebagai unsur-unsur dalam suatu struktur jika dipandang oleh seniman, atau kita dapat melihat hasilnya dari sisi statis, sebagai pengetahuan, dan menamakannya: ritme (irama) order (urutan), disain (rancang bangun), dan harmoni (laras). Matematika adalah, pada sisi statis, suatu kreasi ritme, order, disain, dan harmoni baru, dan pada sisi pengetahuan, adalah studi sistematik dari berbagai ritme, orde, disain, dan harmoni. Kita dapat meringkasnya ke dalam pernyataan bahwa matematika adalah, pada studi kualitatif dari struktur keindahan, dan pada sisi lain adalah kreator dari bentuk-bentuk artistik baru dari keindahan, Matematikawan adalah sekaligus kreator dan pengkritik, tentu saja, tidak selalu pada orang yang sama. Yang sangat terkenal sebagai kreator besar adalah Sylvester, Kleine, dan Poincare, dan mereka ini tidak terlalu tertarik dari sisi kritik. Sedangkan dari sisi kritik terkenal nama-nama kritikus unggul Cayley, Hilbert, dan Picard. Sylvester tidak pernah tahu bahan apa yang akan diberikan dalam perkuliahannya. Kleine dalam situasi putus asa terhadap Hilbert dengan kekhilafannya mengenai kreasi intuitif, dengan menggunakan sebarang medium untuk ekspresi yang akan memenuhi angan-angannya. Poincare selalu menyerang tentang pekerjaannya mengenai intuisi mata. Namun dalam semua matematikawan besar mulai dari Pythagoras sampai Poincare kita dapati karakter seniman yang dikombinasikan dalam berbagai derajat dengan karakter kesarjanaan.
Kita
dapat juga menjawab pertanyaan yang kedua: Mengapa matematika itu hanya menarik
sedikit orang? Mary Austin dalam bukunya "Everyman's Genius" mengajak
semua para artis yang kreatif untuk belajar matematika tinggi, hal yang sama
dianjurkan oleh Havelock Ellis. Bukan semata-mata tentang keterlibatan sifat
kesarjanaan, bukan keingintahuan besar yang dipromosikan, tetapi untuk
imajinasi tingkat tinggi yang diperlukan, untuk membangun pendalaman artistik
yang tajam. Jika, misalnya, meskipun orang hanya belajar dalam bidang-bidang
bilangan aljabar yang superkuadratik, yang mempunyai grup berorder 2N, akan
mempelajari sesuatu yang baru tentang keindahan. Jika ia hanya belajar
bidang-bidang bangun aljabar simetrik ia akan dipercantik oleh keindahan yang
elegan. Aljabar determinan adalah kebun yang elok, terbuka pada setiap sisinya,
seperti dapat dilihat dalam risalat Metzler. Jika orang mendapat teorema baru
dalam geometri segitiga, ia akan terkejut dengan keindahannya. Hanya mengetahui
transversal dari suatu segitiga, misalnya, dengan mengetahui titik-titik
Brocard dan lingkaran Brocard, lingkaran Lemoine, lingkaran titik-sembilan dari
Feuerbach, lingkaran-lingkaran Tucker, garis-garis isotomik, garis-garis
isogonal dan lain-lain bangun, akan membawa keindahan baru pada imajinasi.
Dalam teori bilangan teorema terakhir Fermat menunggu buktinya, dan akan
mendapat mahkota kemuliaan bagi seseorang yang memberikan bukti.
Aljabar-aljabar divisi Dickson menghiasi setiap realm (dunia akal) yang menarik
dan dapat menguntungkan bagi teorema-teorema baru. Daftar demikian dapat
diperpanjang tanpa akhir.
Banyak
matematikawan telah menjadi seniman dengan cara lain-lain. Ada yang menulis
puisi, lainnya mengomposisi musik. Inkuiri yang dipimpin oleh kegiatan
matematikawan beberapa tahun lampau didapati bahwa kebanyakan dari mereka
dengan serius tertarik dalam suatu phase seni. Dan kebanyakan dari mereka
dilaporkan bahwa penemuan-penemuan atau kreasi-kreasi mereka datang tepat
seperti yang dialami para seniman mendapat inspirasi dengan cara lain.
Matematikawan adalah pemimpi, dan dalam impiannya yang ilusif datang dan pergi;
timbul dan tenggelam, dan lenyap; menggelinding kembali pada momen yang tidak
diharapkan, tetapi terlepas dari genggaman yang akan menahannya; muncul lagi
dalam tarian yang janggal, dan bermain dalam warna fantasi; lenyap; dan suatu
hari melangkah pergi menggandeng tangan yang telah menantinya, dengan bilangan
ideal Kummer sebagai hadiah. Matematikawan bermimpi dan dalam kekisruhannya
yang kalut, bunga yang jujur dalam bentuk fantasi mekar dan hilang; angin
sepoi-sepoi menggerayanginya dengan kilasan burung-burung masa kini dan
seterusnya; dan matematika baru telah lahir, aljabar asosiatif linear oleh
Benjamin Peirce. Inilah tanah yang kaya, dan kota, seperti "Metropolis of
Tomorrow"nya Hugh Ferris, yang dalam kata-kata Tennyson, "membangun
musik, maka yang sesungguhnya sama sekali tidak pernah membangun, dan karena
itu selalu membangun". Inilah dunia yang mengetahui tidak ada hukum kedua
dari termodinamika, dunia yang menjamin bagi orang-orang yang memang dasarnya
kreatif, keabadian waktunya, dan juga ketidakkekalannya.
Daftar Pustaka - Bell, E. T., (1966). The Development of Mathemathics, Ner York: MCMillan.
- Boyer, C. B., (1967). A Concise History of Mathematics. New York: Willey & Son.
- Eka Darmaputra., (1996). Etika Sederhana untuk Semua. Jakarta: Gunung Mulya.
- Hampel, C. G., (1966). University of New Mexico: Philosophical Series.
- Johnson, D. A., (1970). Invitation to Mathemathics. London: John Murray.
- Kattasoff, L. O., (1986). Pengantar Filsafat. Alih bahasa: Suyono Sumargono. Yogyakarta: Tiara Wacara.
- Korne, Stephan., (1986). The Philosophy of Mathematics. New York: Dover.
- Newsom, C. W., (1966). Mathematical Monthly. Vol. 52. Pp 543-556.
- Pujawijatna, I. I., (1963). Pembimbing ke Filsafat. Jakarta: Pembangunan.
- Pujawijatna, I. I., (1982). Etika, Filsafat Tingkah Laku. Jakarta, Bina Aksara.
- Rapar, J. H., (1996), Pengantar Filsafat. Yogyakarta: Kanisius.
- Schaaf, W. L., (1963), The Arithmatics Teacher. Vol. 8. Pp.5-9.
- Suparma, (1996), Ilmu, Teknologi, dan Etika. Jakarta: Gunung Mulya.
- Struik, D. J., (1967). A Concise History of Mathematics, New York: Dover.
- Suseno, Franz Magnis, (1995). Filsafat sebagai Ilmu Kritis. Yogyakarta: Kanisius.
- Wein, G. T., (1973), Mathematics Education, London: Van Nostrand.
- Moris, Kleine, (1966), Mathematical Monthly, Vol. 52, PP. 664-672.
Tidak ada komentar:
Posting Komentar